8 de Maio de 2011 by amrlima

Paradoxo de São Petersburgo: um teste

Estava a ler estatística quando me deparei com este interessante paradoxo.

Este paradoxo, terá sido pela primeira vez publicado por Daniel Bernoulli(1700-1782) (se bem que tenha sido introduzido por Nicolas Bernoulli a Montmort em 1713) Supõe-se que dois indivíduos Pedro e Paulo concordam em jogar um jogo baseado em lançar uma moeda. Neste jogo, lança-se sucessivamente a moeda até dar cara, então, se a moeda tiver aparecido à n-ésima tentativa, Paulo dará a Pedro 2n-1 moedas. A questão que se coloca é sobre quanto deve Pedro pagar a Paulo pelo privilégio de jogar tal jogo?

Intuitivamente, talvez se indicasse uma qualquer quantia finita, mas na verdade, seja qual for a quantia que Pedro invista por cada jogo, se ele tiver dinheiro suficiente para jogar número suficiente de vezes ele deverá sair a lucrar. Em cada jogo ele tem œ de probabilidade de ganhar uma moeda, (œ)2 de ganhar duas moedas e assim sucessivamente, tendo portanto (œ)n de probabilidade de ganhar 2n-1 moedas. Como probabilisticamente é suposto por cada n jogos, ganhar (œ).1+(œ)2.2+…+(œ)n.2n-1 moedas e este somatório, quando n tende para infinito, tende também para infinito, conclui-se que se jogar número suficiente de jogos, poderá ganhar uma quantia de dinheiro superior a qualquer valor estabelecido. Fonte

Como estava aborrecido decidir por isto em código 🙂 (Python).

#/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
 
import random
import string
 
def throw_coin():
  '''Head is 0, Tail is 1'''
  return random.randint(0, 1)
 
 
def main():
 
  games = raw_input('Number of games: ')
  payment = 100 # This is to define the money the player has to pay to be hable
                # to play the game
 
  print "Initial player payment is %d" % payment
  cash = 0
 
  for i in range(int (games)):
    throws = 0
    throws = throws + 1
    while (throw_coin() != 0): # throw coin until head comes up
      throws = throws + 1
 
    cash = cash + 2 ** (throws - 1) # Equivalent to  2^(i-1)
    print "Throws %d" % throws
    print "You have wone: %d euros so far!" % cash
 
  print "You won %d €! You payed %d in advance. You result was %d €!" % (cash
  , payment, cash - payment)
 
if __name__ == "__main__":
  main()

#paradoxo são petersburgo#python